Algebraic Error Correction

%% Lab 1 — BSC 채널과 3회 반복 부호 (툴박스 불필요)
p = 0.01;  N = 1e6;              % 오류 확률, 보낼 bit 수
u = randi([0 1], 1, N);          % message
c = repmat(u, 3, 1);             % codeword: 각 bit 를 3번 (3 x N)
e = rand(3, N) < p;              % BSC: 확률 p 로 뒤집힘
r = xor(c, e);                   % received word
u_hat = sum(r, 1) >= 2;          % 다수결 복호
fprintf('부호 없이  : 오류율 %.5f\n', mean(rand(1,N) < p));
fprintf('3회 반복   : 오류율 %.6f\n', mean(u_hat ~= u));
fprintf('이론 3p^2-2p^3 = %.6f\n', 3*p^2 - 2*p^3);

%% Lab 2 — 패리티와 2D 패리티 (툴박스 불필요)
u = [1 0 1 1];
c = [u mod(sum(u),2)];                 % 짝수 패리티 → 10111
r1 = c; r1(3) = ~r1(3);                % 1 bit 오류
r2 = c; r2([1 2]) = ~r2([1 2]);        % 2 bit 오류
fprintf('c=%s  검사(오류없음)=%d\n', num2str(c,'%d'), mod(sum(c),2));
fprintf('1 bit 오류: 검사=%d (검출)\n', mod(sum(r1),2));
fprintf('2 bit 오류: 검사=%d (놓침!)\n', mod(sum(r2),2));

U = [0 1; 1 0];                        % 2x2 message
B = [U mod(sum(U,2),2)];               % 행 패리티
B = [B; mod(sum(B,1),2)];              % 열 패리티 → 3x3
R = B; R(2,1) = ~R(2,1);               % (2,1) 한 칸 오류
row = find(mod(sum(R,2),2));  col = find(mod(sum(R,1),2));
fprintf('오류 좌표 = (%d,%d)\n', row, col);
R(row,col) = ~R(row,col);  disp(isequal(R,B))   % 1 이면 정정 성공

%% Lab 3 — Hamming distance 와 최소거리 (툴박스 불필요)
x = [1 0 1 1 0 1 0];  y = [1 0 0 1 1 1 0];
d = sum(x ~= y);                     % 다른 자리 수
fprintf('d(x,y) = %d,  wt(x xor y) = %d\n', d, sum(xor(x,y)));

C = [0 0 0; 0 1 1; 1 1 0; 1 0 1];    % codeword 를 행으로
dmin = inf;
for i = 1:size(C,1)-1
    for j = i+1:size(C,1)
        dmin = min(dmin, sum(C(i,:) ~= C(j,:)));
    end
end
t = floor((dmin-1)/2);               % 정정 개수
fprintf('d_min = %d → 검출 %d개, 정정 %d개\n', dmin, dmin-1, t);

%% Lab 4 — Hamming(7,4): c = uG, s = Hr' (툴박스 불필요)
G = [1 0 0 0 1 1 0; 0 1 0 0 1 0 1;
     0 0 1 0 0 1 1; 0 0 0 1 1 1 1];
H = [1 1 0 1 1 0 0; 1 0 1 1 0 1 0; 0 1 1 1 0 0 1];
u = [1 0 1 1];
c = mod(u*G, 2);                  % codeword 1011010
r = c;  r(5) = ~r(5);             % 5번 bit 오류
s = mod(H*r', 2)';                % syndrome
pos = find(all(H' == s, 2));      % s 와 같은 H 의 열
fprintf('c=%s s=%s → %d번 정정\n', ...
        num2str(c,'%d'), num2str(s,'%d'), pos);
r(pos) = ~r(pos);
fprintf('복원 u = %s\n', num2str(r(1:4),'%d'));

r2 = c;  r2([2 5]) = ~r2([2 5]);  % 2 bit 오류
s2 = mod(H*r2', 2)';
p2 = find(all(H' == s2, 2));
r2(p2) = ~r2(p2);                 % 엉뚱한 칸을 고친다
fprintf('2 bit 오류: s=%s → %d번 → u=%s (틀림)\n', ...
        num2str(s2,'%d'), p2, num2str(r2(1:4),'%d'));

%% Lab 4b — 같은 일을 Communications Toolbox 로
[H, G, n, k] = hammgen(3);        % Hamming(7,4) 의 H, G
disp(H); disp(G);                 % [검사 | message] 순서
msg  = [1 0 1 1];
code = encode(msg, n, k, 'hamming/binary');
recd = code;  recd(5) = ~recd(5); % 1 bit 오류
[dec, err] = decode(recd, n, k, 'hamming/binary');
fprintf('code=%s 복원=%s 정정=%d\n', ...
        num2str(code,'%d'), num2str(dec,'%d'), err);

trt = syndtable(H);               % 신드롬 → 오류 패턴 표
s   = rem(recd*H', 2);            % 신드롬
e   = trt(1 + bit2int(s', 3), :); % 표에서 찾기
fprintf('s=%s → e=%s\n', num2str(s,'%d'), num2str(e,'%d'));

%% Lab 5 — 다항식 나눗셈(CRC)과 순환 부호
g = [1 0 1 1];                    % g(x) = x^3 + x + 1
m = [1 1 0 1];                    % message
w = [m 0 0 0];                    % m(x) * x^3
for i = 1:numel(m)                % mod 2 긴 나눗셈
    if w(i), w(i:i+3) = xor(w(i:i+3), g); end
end
c = [m w(5:7)];                   % message + 나머지
fprintf('나머지=%s  codeword=%s\n', ...
        num2str(w(5:7),'%d'), num2str(c,'%d'));
for s = 1:3                       % 돌려도 codeword 인가?
    cs = circshift(c, s);  t = cs;
    for i = 1:4
        if t(i), t(i:i+3) = xor(t(i:i+3), g); end
    end
    fprintf('shift %d: %s  나머지=%s\n', s, ...
            num2str(cs,'%d'), num2str(t(5:7),'%d'));
end
%% (Communications Toolbox) 가능한 generator polynomial
% 계수는 낮은 차수부터: [1 1 0 1] = 1 + x + x^3
disp(cyclpoly(7, 4, 'all'))

%% Lab 6 — GF(8) 을 직접 만든다 (툴박스 불필요)
prim = 11;                        % x^3+x+1 = 1011(2)
a = 1;  tab = zeros(1,7);
for i = 0:6
    tab(i+1) = a;                 % alpha^i
    a = bitshift(a, 1);           % x 를 곱한다
    if a >= 8                     % x^3 이 생기면
        a = bitxor(a, prim);      % x^3 = x + 1 로 바꾼다
    end
end
for i = 0:6
    fprintf('alpha^%d = %s\n', i, dec2bin(tab(i+1),3));
end
e = mod(4+5, 7);                  % alpha^4*alpha^5
fprintf('a^4*a^5 = a^%d = %s\n', e, dec2bin(tab(e+1),3));
%% (Communications Toolbox) 같은 계산
al = gf(2, 3);                    % alpha in GF(2^3)
p  = al^4 * al^5;  s = al^4 + al^5;
fprintf('gf: product=%d sum=%d\n', p.x, s.x);

%% Lab 7 — BCH 와 Reed-Solomon (Communications Toolbox)
g = bchgenpoly(15, 7);            % BCH(15,7), t = 2
disp(double(g.x))                 % g(x) 계수, 높은 차수부터
msg  = gf([1 0 1 1 0 0 1]);
code = bchenc(msg, 15, 7);
rx   = code;
rx([3 11]) = rx([3 11]) + 1;      % bit 2개 오류
[dec, nerr] = bchdec(rx, 15, 7);
fprintf('BCH: 정정 %d개, 일치 %d\n', nerr, isequal(dec, msg));

m = 3;  n = 7;  k = 3;            % RS(7,3) over GF(8)
disp(rsgenpoly(n, k))             % generator polynomial
msg  = gf([1 5 3], m);            % 기호 3개 (0~7)
code = rsenc(msg, n, k);
rx   = code;                      % 기호 2개 오류
rx(2) = rx(2) + gf(6, m);
rx(6) = rx(6) + gf(1, m);
[dec, nerr] = rsdec(rx, n, k);
fprintf('RS : code=%s 정정 %d개 복원=%s\n', ...
    num2str(code.x), nerr, num2str(dec.x));